BZOJ4213 - 贪吃蛇

2019-03-13 网络流相关 Viewed times

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Description

　　最近lwher迷上了贪吃蛇游戏，在玩了几天却从未占满全地图的情况下，他不得不承认自己是一个弱菜，只能改去开发一款更弱的贪吃蛇游戏。

　　在开发的过程中，lwher脑洞大开，搞了一个多条蛇的模式。但由于这种模式太难操作，于是他只好改变游戏的玩法，稍微变化一下游戏目标。

　　新的游戏是这样的：

　　一些蛇覆盖了一个网格。每个格子要么是一个障碍物，要么是蛇的一部分。每条蛇占据了一条折线(拐角处只能水平和竖直连接)，且只是占据两个格子。蛇与蛇之间不能重叠，蛇也不会与自己重叠。每条蛇还必须满足以下两个条件中的一个：

　　1、两个端点所在的格子在网格的边界。

　　2、蛇构成一个环，即两个端点相邻(垂直或水平，不能斜着)，至少要占据4个格子(否则没法形成环)。

　　给定一个网格，用r x c的字符矩阵描述：‘#’代表障碍物，‘.’代表空地。在满足前面所述的条件下覆盖所有空地，并使得端点在网格边界(即不构成环)的蛇尽量。（如果一条蛇既构成环，又是端点在边界，那么不计入答案）

　　例如，以下网格：

　　可以由下面三种方案覆盖。还有其他的方案，但是没法仅用一条不构成环的蛇就覆盖整个网络的方案。

　　给定一个网络的描述，输出最少需要多少条不构成环的蛇来覆盖这个网格。如果不存在能够覆盖网格的方案，输出-1。

　　一个字符矩阵，行数和列数不超过12。输入文件中没有多余的空白字符，每行之后都有换行符。

　　输出满足题目要求的那个整数。

　　将网格看做点，网格之间的交线看做是边。

　　那么一个环需要满足环上所有点度数为$2$；边界上的一条蛇，则需要满足两个端点度数为$1$，其余端点度数为$2$。

　　即现在转换成这样一个问题，可以在图内任意加边，并且满足边界上的点度数为$1$或$2$，其余点度数为$2$。

　　考虑如何解决此问题。

　　对网格黑白染色。设黑色点集为$A$，白色点集为$B$，则每条边均为$A$与$B$的连边，而度数限制可以看做是一个取值区间。建图$S \to A \to B \to T$。判断是否存在答案，等价于判断该上下界网络流是否有解。

　　考虑如何求最终答案。

　　易知为使得最终答案尽可能小，需要度数为$2$的点尽量多。该限制等价于跑上下界最大流。

　　因此对原图跑有源汇上下界最大流，最后统计度数为$1$的节点数即可。