BZOJ2463 - [中山市选2009]谁能赢呢?

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Description

  小明和小红经常玩一个博弈游戏。给定一个n×n的棋盘,一个石头被放在棋盘的左上角。他们轮流移动石头。每一回合,选手只能把石头向上,下,左,右四个方向移动一格,并且要求移动到的格子之前不能被访问过。谁不能移动石头了就算输。假如小明先移动石头,而且两个选手都以最优策略走步,问最后谁能赢?

  

Input

  输入文件有多组数据。

  输入第一行包含一个整数n,表示棋盘的规模。

  当输入n为0时,表示输入结束。

  

Output

  对于每组数据,如果小明最后能赢,则输出”Alice”, 否则输出”Bob”, 每一组答案独占一行。

  对于所有的数据,保证1<=n<=10000。

  

Solutions

  结论很简单,$N$为偶数$Alice$赢,否则$Bob$赢。

  简单的证明一下。

  首先若$N$为偶数,那么这个方格必定可以被$1 \times 2$的格子铺满。又因为$Alice$是先手,因此只要$Bob$能走,$Alice$就能走。此时,$Alice$赢。

  若$N$为奇数,则被$1 \times 2$的格子铺满后还剩下一个格子,结论与之前相反。

  

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